Resumen: Las variedades abelianas son muy importantes en el estudio de Geometría Aritmética. Presentaremos, a lo largo de este curso, diferentes aspectos de dichas variedades. Abordaremos también tres célebres conjeturas: la conjetura de Hodge, de Tate y de Mumford-Tate.
Apuntes:
Hindry, M. and Rebolledo, M. Agra II: Introducción a la teoría de las curvas elípticas
Hindry, M., Rebolledo, M., and Roberts, D. Agra III: Variedades abelianas, una introducción
Resumen: La teoría de números moderna está llena de conexiones sorprendentes entre valores especiales de funciones L y objetos puramente aritméticos. Un ejemplo famoso de ese fenómeno es el teorema de Kummer. Las conjeturas principales en la teoría de Iwasawa tienen el objetivo de "explicar" este y otros fenómenos similares conceptualmente. En este mini-curso vamos a explicar todas estas ideas en mas detalle, incluyendo la construcción de la función zeta p-ádica.
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Resumen: El objetivo de este curso es presentar algunas técnicas de representaciones de Galois utilizadas recientemente en el estudio del problema inverso de Galois, el cual conjetura que todo grupo finito es grupo de Galois de alguna extensión finita de Q. El curso constara de 3 sesiones: 1) Introducción a la teoría de representaciones de Galois. 2) Curvas elípticas y GL(2,p) como grupo de Galois. 3) Formas modulares y SL(2,q) como grupo de Galois. Prerequisitos: conocimientos básicos de teoría de Galois y variable compleja.
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Resumen: La construcción de Kuga-Satake es una variedad abeliana que se le asocia a una superficie K3 polarizada de tal manera que induce una inclusión de estructuras de Hodge entre sus cohomologías. Es posible hacer esta construcción en familias y de hecho se puede dar un morfismo entre los espacios móduli de superficies K3 con ciertas estructuras al correspondiente espacio móduli de variedades abelianas. En este trabajo presento una generalización de la construcción de Kuga-Satake para familias que degeneran a una superficie con singularidades usando geometría logarítmica de Fontaine-Illusie-Kato. En particular se presenta una construcción para una superficie K3-combinatoria.
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Resumen: El invariante-j cuántico se definió (con Castaño-Bernard) como una función multi-valuada de los numeros reales, que es discontinua y modular (es decir, invariante con respeto a la acción proyectiva-lineal del grupo GL(2,Z)). Si θ es un número cuádratico y real, evidencia experimental (Zagier, Pink) sugiere que el invariante-j cuántico es un conjunto de Cantor. La conjetura principal (con Demangos) es que la esperanza multiplicativa de los valores del invariante-j cuántico genera el campo de clase de Hilbert del campo K generado por θ. Así que la conjetura afirmada daría una solución del duodécimo problema de Hilbert para la familia de extensiones cuadráticas reales de los racionales, análoga al solución dada para extensiones cuadráticas complejas, usando la teoría de multiplicación compleja de curvas elípticas. La conjetura es un teorema para extensiones cuadraticas y reales del campo F(T), F un campo finito (con Demangos). Damos un bosquejo de la demostración del último y indicamos una estrategia para adaptar la demostración al caso de campos numéricos usando una noción cuasicristalina de curva elíptica (con Lochak y Leichtnam).
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El propósito de la plática es explicar ciertas conexiones entre el análisis p-ádico (entendido en una forma muy amplia, en la cual se incluyen varios aspectos de la teoría de los números, la geometría algebraica, y al teoría de singularidades) y la física cuántica. También planeamos presentar un esbozo de los resultados de investigación que hemos obtenido recientemente en esta área.
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